三角形的内心有什么性质

永元郎

三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。那么三角形的内心有什么性质呢?

三角形的内心有什么性质

1、内心在△ABC三边距离相等,这个相等的距离是△ABC内切圆的半径;

2、若I是△ABC的内心,AI延长线交△ABC外接圆于D,则有DI=DB=DC,即D为△BCI的外心;

3、r=S/p(S表示三角形面积);

证明:S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得结论;

4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2;

5、点O是平面ABC上任意一点,点O是△ABC内心的充要条件是:a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0;

6、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是:向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c);

7、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么△ABC内心I的坐标是:(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

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