行列式的等价定义是什么？

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用，那么行列式的等价定义是什么？

1、行列式有很多等价定义。等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。我可以举出三个。

2、第一个应该是大部分国内教材用的。用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2，。。。，pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。。。*a{n，pn}的和。

3、第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。。。，n求和。其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。

4、第三种是从性质入手定义。从上面两个定义来看，行列式可以看成一个n^2个域F元素到域F上的函数。我们将每一列元素视为一个列向量，即向量空间F^n中的元素，那么行列式是n个F^n中元素到F上的函数。我们可以这么定义行列式：若F^n到F上的n元函数f是n重线性标准反对称的，则f是域F上的行列式。这种定义其实就是从行列式性质（列按加拆，整列的系数可提出，单位矩阵行列式为1，交换列行列式乘-1）出发倒过来定义行列式，这个定义想要合法必须证明这样的函数具有确定性、唯一性，具体证明就不写了。利用这个定义是可以推出值等同于定义1，2的结果的，所以是等价定义。

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